クラメルの公式の図形的意味

交差判定の記事でクラメルの公式を扱いましたが公式については省いていたので解説してみようと思います。クラメルの公式が図形的にどんな仕組みになっているのかを視覚化してみます。

まずはクラメルの公式とは何かというと・・・

2x + y = 8
x + 3y = 9

といった連立方程式を代入や消去法を使わずに

x = (8*3 – 1*9) / (2*3 – 1*1) = 3
y = (8*1 – 2*9) / (1*1 – 2*3) = 2

と係数の四則演算だけで求めることが出来る便利な公式です。交差判定では三次元での計算を扱いましたが、今回はわかりやすさを考えて二次元で解説していきます。

cramer_2d_20151121

これがクラメールの公式です。detという式を使っていますが、これはdeterminant(行列式)という意味になります。

 

行列式とは?

determinant

まずクラメルの公式に使われている行列式が何を意味しているのかですが、答えを先に書いてしまうとこれが意味するものは2つのベクトルが成す平行四辺形の面積です。

図形にして見てみます。

determinant_graph_20151122

ベクトルの成分同士を掛け合って引き算することで上手く平行四辺形の面積になっていることがわかると思います。クラメールの公式はこの考え方を基本に成り立っています。

 

連立方程式を図形化してみる

連立方程式はベクトルの形にしてみると、平行四辺形の関係になります。

cramer_parallel_20151127

ベクトルaをx倍して、ベクトルbをy倍したものがベクトルcという関係になることがわかると思います。連立方程式が表していることがちょうど平行四辺形になるんです。

 

クラメールの公式を分解していく

cramer_2d_20151121

クラメルの公式ではxやyを行列式を利用して求めます。公式を見るとxの値は「ベクトルcとベクトルbが成す平行四辺形」を「ベクトルaとベクトルbが成す平行四辺形」で割ることで求まることになります。

ではその様子を図形的に表してみます。

parallel_cramer_xy

ベクトルの方向に伸びた平行四辺形を基本となる平行四辺形で割った値がそれぞれxとyになるということがわかると思います。図にすると関係性がわかりやすくなりますよね。

 

cramer_3d

3次元でのクラメル式は計算量は多くなりますが、平行四辺形が平行六面体になるだけで概念は同じです。こうしてみるとエレガントな公式ですね。

 

参考資料

線形代数を学ぶならこの本がおすすめです。1章から3章までで行列式や内積、外積を視覚的に理解することができます。

「ゼロから学ぶ線形代数」 1章(26~36ページ)
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4061546538

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