Space Program #1 万有引力

そろそろ宇宙空間にも進出していこうと思います。昔からやってみたいと思ってはいたのですが、数学が難しそうという思い込みでなかなか始められず・・・。重い腰を上げたきっかけは少し前に読んだ探査機はやぶさ2の地球スイングバイの記事でした。宇宙船は基本的に燃料を節約するために慣性で飛んでいて、惑星の引力を利用して軌道や速度を変えたりしているのですが、記事を読んで、どのように軌道の計算をしているのか興味がわいてきました。

宇宙空間の物理法則はあまり理解していないので初歩的なところから始めてみました。惑星を配置して衛星を回すことが今回の目標です。

 

万有引力

universal_gravitation_20160215

まずは宇宙空間の環境をつくります。万有引力の公式を見ると重力の大きさは距離(半径)の二乗に反比例するという意味になっていますね。なぜそうなるのかはわかりませんが、逆二乗ということはおそらく重力は音のように球状で広がっていく力なのでしょう。

地球の質量5.972 x 10^24kg、半径6,371kmを使って計算すると

5.972 * 10^24 * 6.67 * 10^-11 / 6371000^2 = 9.819943

ご存知の重力加速度9.8m/s^2が導き出されます。

地上400kmを飛ぶ国際宇宙ステーションにかかる重力加速度は8.69m/s^2となり、月が地球から受ける重力加速度は距離が384,400 kmなので0.0026m/s^2になります。

 

衛星と第一宇宙速度

ISS(国際宇宙ステーション)が地球を回っているのはエンジンを噴かして飛んでいるわけではなく、地球に落ちない速度で動いているからです。このギリギリ落ちない速度を第一宇宙速度といい、円運動を理解することで計算できるようになります。

angular_velocity_20160215

はじめに角速度です。一定の半径で回り続ける場合、弧の長さは角度(ラジアン)×半径となります。この場合、弧の長さが速度になりますね。

 

centripetal_force_20160214b

つぎに向心力、つまり速度ベクトルが円運動をするために必要な加速度を求めます。この中心に働く加速度がないと速度ベクトルはまっすぐ進むことになります。ハンドルを切って横方向に力を加えるようなイメージをするといいかもしれません。求め方は微小時間で考えるとわかりやすくなります。

 

first_astronautical_velocity_20160214

重力加速度と向心力の式をまとめると円運動をするための速度、つまり第一宇宙速度の式になります。高度400kmのISSに必要な速度は7.642km/sになり、月が地球へ落ちないために必要な速度は、地球からの距離が384,400 kmなので1.018km/sになります。

 

実装

プログラムは極力シンプルな構成で始めることにしました。地球を原点に配置して地球が静止しているという状態にし、地球のまわりに衛星を飛ばします。物体の座標は毎秒速度ベクトルで移動し、この速度ベクトルに地球からの重力加速度が加算されるという仕組みです。

satellite_20160211115233

画面をクリックすることでカメラ位置から隕石を飛ばせるようにしました。地球を周回する軌道に乗せるのは意外と難しいです。

 

satellite_20160213163633

第一宇宙速度で飛ぶ衛星です。ISSと静止衛星、月を配置しました。静止衛星は地球の自転に合わせて回る衛星で、たとえば日本の気象衛星ひまわりはこの軌道を飛んで日本上空を観測し続けています。角速度を地球の自転角度に合わせることでこの軌道に必要な距離と速度を計算できます。

 

地球の重力を振り切るほどの速度がない衛星は地球の周りを楕円軌道で回り続けます。地球に近づくほど速度が増し、離れるほどゆっくりになります。ちょうど地上から真上に向かって物を投げる運動に似てますね。地面がないのでずっと回り続けるわけです。よくSF漫画や小説に出てくる「重力に囚われた」という表現はこういうことだったんですね。

つづく・・・

 

※動画は60~1800倍の速度で動かしています。

参考資料

「チャート式 新物理」 円運動と万有引力(155~162ページ)
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4410118420

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Space Program #1 万有引力」への2件のフィードバック

  1. 素晴らしいです。私は軌道計算の難しさに何度も宇宙モノの開発に断念したので、よしむさんの作品に超期待してしまいます!
    是非とも探査機を飛ばしてサンプルリターンさせちゃって下さい!

    • ここまでがちょうど高校物理の範囲なので、今後は自分にとっては未知の領域です。宇宙は上も下もないので姿勢制御なんかはやっかいな気がしています。いずれは軌道計算やスイングバイができたらいいですね!

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