最大飛距離となる角度を求める

exam_01_20150424

物を投げるときに最大飛距離になるための角度というのは経験的に45度となんとなく知られていることだと思いますが、いままでどうしてそうなるのか考えたこともなかったのでちょっと計算式にしてみました。

trigonometry_20150427

初速をV、角度をθ、重力をgとして砲弾を撃つとします。速度を分解すると上の図のようになりますね。

trigonometry_graph_20150422

距離と高度をグラフにしてみました。Y軸は重力の公式を利用しています。

x = Vcosθt ・・・①

y = Vsinθt – 1/2gt^2 ・・・②

砲弾が落下するときy = 0になるので

Vsinθt – 1/2gt^2 = 0

t (Vsinθ – 1/2gt) = 0

となります。t = 0 または Vsinθ – 1/2gt = 0 の時に y = 0になるということです。

t = 0 は明らかに砲弾を撃った時なので、落下した時は

Vsinθ – 1/2gt = 0

となります。式を変形して

t = 2Vsinθ / g

これを①の式に代入すると

x = 2V^2cosθsinθ / g

二倍角の公式よりsin2θ = 2sinθcosθなので

x = V^2sin2θ / g

これが落下した時のxの値になります。この式の値が最大になのはsin2θが最大になる時。sinは90度が最大の値となるので、2θ=90度の時ですね。

というわけでθは45度ということになります。

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